Né le 12 mai 1933 à Moscou, Andreï Andreïevitch Voznessenski fait des études d’architecture à l’Institut d’architecture de Moscou dont il sort diplômé en 1957.
Dès l'âge de 14 ans, Voznessenski écrit des poèmes qu'il envoie à Boris Pasternak qui l’encourage à poursuivre dans la voie poétique et deviendra son mentor. Il développe très tôt une écriture audacieuse et innovatrice. Son premier recueil de poèmes Mosaïque ( Мозаика) est publié à Vladimir en 1960.
Avec Evgueni Evtouchenko et Bella Akhmadoulina, il incarne la génération des « poètes des stades », dont les lectures publiques rassemblent des milliers de spectateurs dans les années 1960.
Sa poésie rompt avec le ton officiel du réalisme socialiste. Elle explore les tensions entre individu et pouvoir, tradition et modernité, technique et spiritualité. Sa diction scénique, rythmée et théâtrale, contribue à renouveler le statut public du poète en URSS.
Les autorités soviétiques lui reprochent à plusieurs reprises son « formalisme » et son indépendance. En 1963, Nikita Khrouchtchev l’attaque publiquement. Pourtant, sa notoriété internationale ne cesse de croître : il est traduit en de nombreuses langues et séjourne régulièrement en Europe et aux États-Unis, où il dialogue avec des artistes et écrivains contemporains.
Le rapport de Voznessenski au cinéma est multiple. Son écriture visuelle, volontiers fragmentée, entretient des affinités avec le montage cinématographique. Plusieurs de ses textes inspirent des œuvres scéniques et filmiques, et il collabore à des projets liés à la chanson et au théâtre musical. Son poème Avos! devient ainsi la base du célèbre opéra-rock Juno et Avos ((Юнона и Авось), dont Mark Zakharov fera un film de même titre en 1983.
Après la chute de l’URSS, il demeure une autorité morale et littéraire, publiant encore et intervenant dans la vie culturelle russe. Affaibli par la maladie dans les dernières années de sa vie, il meurt le 1ᵉʳ juin 2010 à Moscou.
Aujourd’hui, Andreï Voznessenski est considéré comme l’un des grands rénovateurs de la poésie russe du XXᵉ siècle : un poète-orateur, dont la voix a su faire vibrer les foules, et un créateur dont l’imaginaire visuel a contribué à rapprocher la poésie russe de l’esthétique du cinéma moderne.